Polígonos. 6 K ˆ 5ˆ 5. De 1: s alternos internos entre paralelas

Transcripción

1 Polígonos. Ilustración 14: En un paralelogramo ABCD, las bisectrices de A ) y C ) cortan las prolongaciones de BC y DA en E y F respectivamente. a.) Demostrar que AFCE es un paralelogramo. b.) Demostrar que DEBF es un paralelogramo. c.) Si AE Y CF cortan a DB en K y M respectivamente, probar que KE=MF H: Paralelogramo ABCD. B-C-E; D-A-E; D-K-M-B. AE bisectriz de D Â B. CF bisectriz de DĈ B. T: AECF es paralelogramo, DEBF es paralelogramo, KE=MF. E D 6 K 3 4 C A 1 5 M 7 B F AFIRMACIÓN RAZÓN 1. AD // BC ; DC // AB 1. ABCD es un paralelogramo. AF // CE. De 1y B-C-E; D-A-F 3. D Â B DĈ B 3. Ángulos opuestos de ABCD ˆ ˆ 3 ˆ 4ˆ 4. AE y CF son bisectrices de DÂ B DĈ B ˆ 5ˆ 5. De 1: s alternos internos entre paralelas

2 6. 1 ˆ 5ˆ 6. Transitividad 4 y CF // AE 7. De 6: s correspondiente congruentes implican rectas Paralelas. 8. AECF es paralelogramo 8. De y 7 lados opuestos paralelos 9. BE // DF 9. De 1, y B-C-E, D-A-F. 10. DA = BC, AF = CE. 10. AECF y ABCD son paralelogramos 11. DF = BE. 11. De 10, D-A-F; B-C-E adición de Segmentos. 1. DEBF es un paralelogramo. 1. De 9 y 11 tiene un par de lados paralelos y congruentes ˆ 7ˆ 13. De 1: son ángulos alternos Internos entre paralelas. 14. ADK CBM. 14. A A DE 4, 10, AK = CM 15. De 14 Por que? 16. AE = CF. 16. De 8 Por que? 17.KE = MF 17. De 15 y 16 Por que? PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ABCD es un paralelogramo y sobre los lados se tienen los puntos M, N, P, Q tales que AM = CN con A - M - B, B - N - C, C -P -D, D - Q - A. Demostrar que MNPQ es un paralelogramo.. En un paralelogramo ABCD, M y N son puntos sobre la diagonal AC con A -M -N -C. Demostrar que DMBN es un paralelogramo si: a.) DM y BN son bisectrices de Dˆ y Bˆ. b.) DM y BN son perpendiculares a AC. c.) AM NC. 3. ABCD es un paralelogramo, las bisectrices de los ángulos interiores al cortarse forman el cuadrilátero MNPQ. Demostrar que MNPQ es un rectángulo. b.) Cuál es la naturaleza del cuadrilátero MNPQ si ABCD es un rectángulo?

3 4. Demostrar que toda recta trazada en un paralelogramo por el punto de intersección de las diagonales es bisecada por este punto. 5. Demostrar que una diagonal de un paralelogramo queda dividido en tres partes iguales cuando. a.) Se unen dos vértices opuestos con los puntos medio de los dos lados opuestos. b.) Se unen un vértice con los puntos medios de los lados opuestos. 6. En un cuadrilátero ABCD, AB = AD, BD = CD; se prolongan los lados opuestos hasta su encuentro en M y N. Demostrar que MN es paralelo a BD 7. Demostrar que en todo trapecio isósceles: a.) Los ángulos asociados a cada base son congruentes. b.) Las diagonales son congruentes. c.) Los diagonales se cortan en segmentos congruentes dos a dos. d.) Los puntos medios de los lados son los vértices de los rombos. e.) Los puntos medios de la base, el punto de corte de las diagonales y el punto de las diagonales y el punto de intersección de las prolongaciones de los lados no paralelos, son cuatro puntos colineales. 8. se da un trapecio isósceles ABCD con AD = BC. Se trazan las diagonales AC, BD y las bisectrices de los ángulos DAB y DBA que se cortan en F, las de los ángulos CBA y C Â B en M. Demostrar que MF es paralelo a AB. 9. Sobre los lados de un cuadrado y al exterior se construyen cuatro triángulos equiláteros AEB, BFC, CED, DHA; luego se une los puntos E, F, G, H. Demostrar que EFGH es un cuadrado. 10. Sobre los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrado ABCD, se toman los puntos A', B, C, D tales que AA', BB', CC', DD' sean la cuarta parte del lado del cuadrado. Demostrar que el cuadrilátero A'B'C'D' es un cuadrado.

4 10..1 Paralela y Base Media Ilustración 15: En un triángulo ABC, O es el baricentro, M es el punto medio de AO y N es el punto medio de BO, si P y Q son los puntos medios de CA y CB respectivamente, demostrar que MNQP es un paralelogramo. C P O Q A M N B Hipótesis: triángulo cualquiera ABC. O: Baricentro. M: Punto medio de AO N: Punto medio de BO Q: Punto medio de CB P: Punto medio de CA Tesis: MNQP es un paralelogramo AFIRMACIÓN RAZÓN 1. M, N, Q, P son puntos medios. 1. Hipótesis.. MN, NQ, QP, MP Son paralelas. medias.. De 1. Definición. 3. MN // AB ; MN = 4. PQ // AB ; PQ = AB 3. MN es paralela media en el triángulo AOB (De ). AB 4. PQ es paralela media en el AOB (De ). 5. MN // PQ ; MN = PQ 5. De 3 y 4.Transitividad.

5 6. MNQP es un paralelogramo. 6. De 5. Teorema. Ilustración 16 BC L K J I A H F E D Hipótesis: En la figura adjunta AI = IJ = JK = KL = LB IH // JF // KE // LD // JF = X; LD = Y; BC = 3Y - B 7 C Tesis: Hallar X, Y AFIRMACIÓN RAZÓN 1. AH = HF = FE = ED = DC 1. De la hipótesis: Teorema fundamental.. IH, JF son paralelas medias. De hipótesis y de afirmación 1. en AJF y ALD. 3. Y = LD = JF = X 3.De. JF es paralela media en ALD. 4. LD = BC + KE 4. LD es base media del trapecio KECB. 5. Y = X = 3Y KE 5. De 4. y de la hipótesis. 6. KE = JF + LD = X + Y 6. KE es la base media en JFDL. 7. X = 3Y (X+ Y)/ 7. Sustitución de 6 en X = 1X X 8. Sustitución de 3 en X = ; Y = 4 9. Propiedad de los Reales

6 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demostrar que el vértice de un triángulo isósceles y los puntos medios de sus lados, son los vértices de un rombo.. M, N, P son los puntos medios de los lados AB, AC, BC respectivamente del triángulo ABC; CHes la altura de ABC. Demostrar que MHNP es un trapecio isósceles. (A - H - M - D). 3. En el trapecio isósceles ABCD con AD = BC, O es el punto de intersección de las diagonales, M y N sean los puntos medios de AC y BD respectivamente. CH es perpendicular a AB. Demostrar que MNBH es un paralelogramo. 4. AM es mediana del triángulo ABC y P es el punto medio de AM ; BP prolongado corta a AC en N. Por M se traza MQ paralelo a BPN con C -Q -A. Demostrar que AN = NQ = QC. 5. Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta cualquiera es igual a la suma de las distancias de los puntos medios de los lados a esta misma recta. 6. La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta cualquiera es igual a tres veces la distancia del baricentro a la recta. 7. Por el baricentro de un triángulo se traza una recta cualquiera, demostrar que la suma de las distancias de dos vértices situados a un mismo lado de la recta, es igual a la distancia del tercer vértice a esta misma recta. EJERCICIOS OPCIONALES. 1. Demostrar que las sumas de las distancias de un punto fijo en el interior de un triángulo equilátero a los lados, es igual a la altura del triángulo.. TEOREMA DE VARIGNON: Por uno de los vértices de un paralelogramo se traza una recta cualquiera. De cada uno de los otros tres vértices se trazan perpendiculares a la recta. Demostrar que la perpendicular trazada del vértice intermedio es igual a la suma o diferencia de las otras dos. 3. La suma de los segmentos (medidas) perpendiculares trazados desde los vértices de un paralelogramo a una recta exterior, es igual a cuatro veces la distancia del punto de concurso de las diagonales a esta recta. 4. El triángulo ABC es isósceles de vértice A y m( Â ) = 100. Se toma A - B - D tal

7 que AD = BC. Hallar la m(ad C). Sugerencia: Sea C-E-B tal que CE=CA=AB y trace CH AE, EF AB. 5. En un triángulo ABC se da A-D-E-B tal que AD=EB, A B, BD M N A E N con B-M-C y A-N-C. Demostrar que PM=PN, MC=NC. 6. En un triángulo ABC se dan sobre los lados AB, BC y CA los puntos E,H,D respectivamente. AH y BD se cortan en F. a. Si CD=CH y CA=CB, demostrar que DF=HF. b. Si E es punto medio, A B, CD=CH, entonces el triángulo DEH es isósceles. 1. En un cuadrilátero ABCD, AB y CD son paralelos; AD H BC I, DH AB, CI AB, DH = CI. Determinar todas las parejas de triángulos congruentes que resultan si las diagonales se cortan en O.